Lección 28. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS Y AREA.

Luego de verificar los datos en campo y de contar con un croquis a mano alzada del levantamiento, se procede en la oficina a calcular las coordenadas de los vértices.

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS Y AREA.

Como se comentó anteriormente, en campo se toman valores del ángulo derecho para cada vértice, del azimut y de la distancia entre cada vértice. De esta forma la cartera tomada en campo queda de la siguiente forma, se presentan los valores correspondientes para el polígono de la Figura 60.

 

En la columna punto observado, se observa que la mira del teodolito gira entre las dos estaciones consecutivas sobre la que está estacionado el teodolito, midiendo el ángulo derecho entre ellas. En la estación 4 por ejemplo, el ángulo derecho corresponde al ángulo generado por las estaciones 3 y 5.

En este momento se verifica el error angular de cierre, de acuerdo a la Tabla 1, el error máximo para este levantamiento (asumiendo precisión alta para trabajo en ciudad) está dado por:

La suma teórica está dada por (teniendo en cuenta que se está trabajando con ángulos externos, si se trabajara con los internos la suma seria 180*(n-2)):
Σteórica = 180(n+2)

En este caso se cuenta con una poligonal de 5 lados, luego la suma teórica da:

Σteórica = 180(n+2)
Σteórica = 180(5+2)
Σteórica = 1260º

La suma real para este caso es:
Σreal = 277º 18´ + 223º 36´ + 266º 35´ 30´´ + 251º 36´ + 240º 54´
Σreal = 1259º 59´ 30´´

En este caso el error de cierre sería:
Error de cierre = Σteórica - Σreal
Error de cierre = 1260º - 1259º 59´ 30´´
Error de cierre = 00º 00´ 30´´

El error de cierre, está por debajo de lo recomendado, luego se puede proceder con los demás cálculos del levantamiento. Este error de cierre se reparte entre los vértices, luego a cada vértice se le suman 6 segundos (00º 00´ 06´´).

La cartera queda como sigue:

 

Para el cálculo de los azimut, se sigue la siguiente regla:

A cada punto se le suma el ángulo derecho medido en ese vértice, si el azimut anterior es mayor a 180°, se procede a restarle este valor (-180°), si es menor, se le suma (+180°). Se muestra a continuación el cálculo del azimut para los vértices 2 y 3.

Vértice 2.

El azimut del punto anterior es 23° 12', como es menor que 180°, se le suma este valor y el ángulo derecho en el vértice 2. Lo anterior queda:

Azimut (2) = 23° 12' + 180° + 223° 36' 06"

Azimut (2) = 426° 48' 06"

Como el azimut no puede ser mayor que 360°, se le resta este valor, con lo que el

azimut queda:

Azimut (2) = 426° 48' 06" - 360°

Azimut (2) = 66° 48' 06"

Vértice 3.

El azimut del punto anterior es 66° 47' 54", como nuevamente es menor que 180°, se le suma este valor y el ángulo derecho en el vértice 3. Lo anterior queda:

Azimut(3)=66°48'06"+180°+266°35'36" Azimut(3)=513°23'42"

Como el azimut no puede ser mayor que 360°, se le resta este valor, con lo que el azimut queda:

Azimut(3)=513°23'42"-360° Azimut(3)=153°23'42"

Luego de realizar las correcciones del azimut queda:


Se invita al lector a calcular el azimut del vértice 1, siguiendo la misma metodología y comprobar que efectivamente da el mismo resultado planteado inicialmente (23° 12' 00"). Ahora de manera análoga a lo expresado en el levantamiento por radiación, calculamos los valores de las proyecciones tanto en el eje X (E-W), como en el eje Y (N-S). Las proyecciones E-W, se calculan multiplicando el valor de la distancia horizontal por el Seno del azimut, mientras que las proyecciones (N-S), se calculan multiplicando el valor de la distancia horizontal por el Coseno del azimut, de acuerdo a la siguiente fórmula.

 

Las proyecciones E-W de los vértices serán:

De forma análoga, las proyecciones N-S de los vértices serán:

Un resumen de los cálculos anteriores se presenta en la siguiente Tabla.

 

Es necesario revisar de igual forma el error lineal de cierre, esto asegura que en la poligonal una vez dibujada se parta del vértice 1 y se vuelva a el. Sin embargo, por errores al tomar la medida de los linderos, esto puede no ser así y es necesario realizar ajustes para asegurar el cierre de la poligonal. En una poligonal cerrada debe cumplirse que:

ΣProyeccionesN-S=0

ΣProyeccionesE-W=0

Para ajustar las proyecciones de los vértices existen varios métodos matemáticos y geométricos. En este caso se presentará uno de los más comunes llamado método de la brújula, el cual relaciona el error de cierre con la medida de los lados del polígono y su perímetro, tal como lo muestra la siguiente expresión:

 

Donde C, representa la corrección que debe aplicársele a la proyección. Para ajustar la proyección se procede de la siguiente manera:

Proyeccion(corregida) = Proyeccion - C

 

Para mayor ilustración, se presentan a continuación los cálculos para la poligonal que se viene trabajando. Tenemos que:

ΣProyecciones E-W = 0

ΣProyecciones E-W = 29.967 + 70.021 + 30.045 - 59.966 -70.073

ΣProyecciones E-W = -0.006

ΣProyecciones N-S = 0

ΣProyecciones N-S = 69.919 + 30.008 - 59.986 - 59.973 + 19.959

ΣProyecciones N-S = -0.073

Observe que para asegurar mayor precisión en las correcciones se trabajó con tres (3) decimales). El perímetro de la poligonal corresponde a la suma de los lados de los vértices:

Perímetro=76.07+76.18+67.09+84.81+72.86

Perímetro=377.01m.

Para las proyecciones E-W, la corrección queda:

 

De acuerdo a esto, las Proyecciones E-W, quedan:

 

Proyeccion{corregida) = Proyeccion, - C

Proyeccion(corregida)1 = 29.967 + 0.0012 = 29.9682

Proyeccion(corregida)2 = 70.021+ 0.0012 = 70.0222

Proyeccion(corregida)3 = 30.045 + 0.0012 = 30.0462

Proyeccion(corregida)4 = -59.966 + 0.0012 = -59.9648

Proyeccion(corregida)5 = -70.073 + 0.0012 = -70.0718

Tenemos que:

 

ΣProyecciones E-W = 29.9682 + 70.0222 + 30.0462 – 59.9648 -70.0718

 

ΣProyecciones E-W = 0

Para las proyecciones N-S, la corrección queda:

 

 

Para las proyecciones N-S, la corrección queda:

 

Proyeccion(corregida) = Proyeccioni - C

Proyeccion(corregida)1 = 69.919 + 0.0147 = 69.9337

Proyeccion(corregida)2 = 30.008 + 0.0148 = 30.0228

Proyeccion(corregida)3 = -59.986 + 0.0130 = -59.9730

Proyeccion(corregida)4 = -59.973 + 0.0164 = -59.9566

Proyeccion(corregida)5 = 19.959 + 0.0141 = 19.9731

Tenemos que:

ΣProyecciones N-S = 69.9337 + 30.0228 - 59.9730 - 59.9566 + 19.9731

ΣProyecciones N-S = 0

Después de calcular las proyecciones de los vértices de la poligonal, el siguiente paso es calcular las coordenadas de cada uno de los vértices. Para esto se escoge un valor de coordenadas que se aplicarán al punto inicial del levantamiento, en este caso llamado Estación 1. Para calcular las coordenadas de cada vértice a las proyecciones encontradas, se van sumando las proyecciones en forma consecutiva, es decir, al valor inicial seleccionado, se le suman las proyecciones de la estación 1, a este resultado se le suman las proyecciones de la estación 2 y así sucesivamente hasta completar el polígono. Lo importante es que todas las coordenadas queden positivas, por tanto se debe sumar un valor positivo que sea mayor que el menor negativo.

En este caso podemos escoger un valor de coordenadas iniciales de (100;100). Las coordenadas E-W de los vértices serán:

Coord1 = 29.9682 +100 =129.9682

Coord2 = 70.0222 +129.9682 =199.9904

Coord3 = 30.0462 +199.9904 = 230.0366

Coord4 = -59.9648 + 230.0366 =170.0718

Coord5 = -70.0718 +170.0718 = 100

 

Las coordenadas N-S, de los vértices serán:

Coord1 = 69.9337 +100 =169.9337

Coord2 = 30.0228 +169.9337 =199.9565

Coord3 = -59.9730 +199.9565 =139.9835

Coord4 = -59.9566 +139.9835 = 80.0269

Coord5 =19.9731+ 80.0269 = 100

En la siguiente Tabla se presenta un resumen de los cálculos realizados.

 

El error lineal de cierre de la poligonal, se define como la hipotenusa del triángulo definido por los errores tanto en longitud como en latitud. Es decir al partir del punto 1 y regresar a él, el punto 1´, no necesariamente coincide con el punto 1, esto genera un error que se calcula de la siguiente forma:

 

Para el caso particular que hemos venido trabajando el error lineal de cierre es:

 

En la siguiente Figura se muestra en forma exagerada lo expresado anteriormente.

 

Esto quiere decir que en realidad el punto 1´ está ubicado a 0.0732 m, o 7.32 cm, del verdadero punto 1. Es necesario aclarar que al corregir las proyecciones, este error se eliminó.

La precisión lineal de cierre, se expresa como el número de unidades medidas para cometer un error de 1 unidad. Esta se define como la relación entre el perímetro de la poligonal y el error lineal de cierre, tal como sigue:

Para el caso en particular de la poligonal que se ha venido trabajando tenemos:

 

Lo anterior expresa que para cometer un error de 1 metro es necesario medir 5150 m en la poligonal. De acuerdo a la Tabla 1, una precisión aceptable para un levantamiento de alta precisión para trabajo en ciudad, debe estar por encima de1 : 5000, por lo que este levantamiento cumple con esta condición y se puede continuar con el mismo.

La siguiente Gráfica presenta un esquema del polígono analizado.

Recordemos que el área de un polígono a través de sus coordenadas se determina gracias a la siguiente ecuación:

o tambien:

 

Como se ve, el área del polígono se define como la semisuma de los productos de la ordenada (N-S o Y) por la resta de las abscisas (E-W o X) anterior y posterior al vértice evaluado.

Retomando los valores de la Tabla X4, calculemos el área del polígono, usando la segunda ecuación del área:

A =129.9682* (199.9565-100)

A =12991.17

A2 =199.9904* (139.9835-169.9337)

A2 = -5989.75

A3 =230.0366* (80.0269-199.9565)

A3 = -27588.20

A4 =170.0718*(100-139.9865)

A4 = -6800.06

A5 =100* (169.9337-80.0269)

A5 = 8990.68

Lo que sigue es sumar las áreas parciales, lo que nos da:

AT = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

AT = 12991.17 - 5989.75 - 27588.20 -6800.06 + 8990.68

AT = -18396.16 m2

Como el área se calcula como la semisuma de las áreas parciales, el área del polígono es:

AT = -18396.16 / 2

AT = 9198.08 m2

 

Debemos tener en cuenta que como para el cálculo del área no se tiene en cuenta el signo, por eso siempre se toma positiva, dado que no hay áreas negativas. El valor del área no cambia, sin importar cual de las dos ecuaciones de área se escoja, por lo tanto vamos a determinar el área usando la primer ecuación:

 

Sumamos las áreas parciales, lo que nos da:

AT = A1 + A2 + A3 + A4 + A5

AT = 16991.74 + 20009.32 - 4188.11 - 10406.43 - 4010.36

AT = 18396.16 m2

Como el área se calcula como la semisuma de las áreas parciales, el área del polígono es:

 

AT = 18396.16 / 2

AT = 9198.08 m2

 

 

Vemos que el área calculada por los dos métodos es exactamente la misma, con lo que se confirma que esta es el área correcta.

Hasta ahora se trabajó con una poligonal que coincidía exactamente con el terreno a evaluar. Sin embargo, en la mayoría de los casos esto no es posible, o poco práctico, por esto es más fácil usar un poligonal interna, externa o mixta, tal como se presentó al inicio de este Capítulo.

Para ejemplificar esta situación se plantea una situación real, que se muestra en la siguiente figura, donde se cuenta con un lote en el cual sus propietarios han instalado una pequeña explotación piscícola, por esto el lote esta dotado de 4 estanques, una bodega, la casa de los propietarios y un camino de acceso.

 

En este caso por facilidad, se decidió trabajar con una poligonal mixta, la cual se muestra en la siguiente Figura, presentando la numeración asignada a cada uno de los detalles que se trabajarán en el levantamiento.

 

 

Este lote está compuesto por 6 lados (denominado con letras, de la A a la F) y una poligonal mixta de 5 lados (denominada con números del 1 al 5), con la cual se va a medir el área del lote. El procedimiento para tomar datos es el mismo que para una poligonal cerrada, salvo en el caso de los detalles, los cuales se toman desde cada estación como si se tratara de una radiación, es decir se mide el ángulo horizontal y la distancia con respecto a la estación. En la Tabla 18, se presenta la cartera con los datos tomados en campo.

 

Lo que se busca con los detalles, es definir dentro del lote las coordenadas de los detalles más representativos y por tanto poder en un caso dado, obtener el área ocupada por cada uno de ellos. En este caso, como ya se comentó, se toman valores del ángulo derecho para cada vértice, del azimut y de la distancia entre cada vértice. Además de lo anterior se toman los detalles amarrándolos a una estación. Estos se trabajan como una radiación. En estos casos, cobra más importancia la construcción de un gráfico a mano alzada donde se presente explícitamente la ubicación de cada uno de los detalles, dado que durante el trabajo en oficina y al dibujar el plano puede ser necesario verificar la correcta ubicación de los mismos.

Inicialmente se trabaja con la poligonal base y se sigue el mismo derrotero mostrado para un levantamiento por poligonación, no se mostraran en detalle los cálculos, dado que se hizo para el ejemplo anterior. Los datos son:

En este caso el error de cierre es:

 

Error de cierre = Σteorica - Σreal

Error de cierre = 1260o - 1259o 59´

Error de cierre = 00o 01´ 00´´

 

 

Este valor está dentro de lo recomendado, la compensación para cada lado es de 12 segundos (12"), en la siguiente Tabla se muestran los ángulos derechos corregidos y el azimut calculado para cada uno de ellos.

 

El siguiente paso es calcular las proyecciones de cada uno de los vértices de la poligonal base:

 

La corrección para las Proyecciones E-W es de -0.035 y para las proyecciones N-S de 0.042. A continuación se presentan las Proyecciones y las coordenadas de los vértices de la poligonal base.

 

Para este caso, la precisión lineal de cierre es de 1:6255, la cual es muy aceptable por estar por encima de 1:5000.

En este momento, luego de tener la poligonal base con sus coordenadas listas, calculamos los datos del polígono que se está midiendo. Primero se calcula el azimut de cada detalle, siguiendo el procedimiento explicado anteriormente.

A continuación se muestra el proceso detallado para la estación 1.

La fórmula es:

Azimut (Punto) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (7) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (7) = 280° 47' 48" - 180° + 21° 54'

Azimut (7) = 122° 41'48"

Azimut (6) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (6) = 280° 47' 48" - 180° + 24° 12'

Azimut (6) = 124° 59'48"

Azimut (A) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (A) = 280° 47' 48" - 180° + 174° 36'

Azimut (A) = 275° 23' 48"

Azimut (2) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (2) = 280° 47' 48" - 180° + 307° 12' 12"

Azimut (2) = 408° 00' 00" - 360° (No puede ser mayor que 360°)

Azimut (2) = 48° 00' 00"

Azimut (9) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (9) = 280° 47' 48" - 180° + 309° 42'

Azimut (2) = 410° 29' 48" - 360° (No puede ser mayor que 360°)

Azimut (9) = 50° 29' 48"

Azimut (8) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (8) = 280° 47' 48" - 180° + 319o 54'

Azimut (8) = 420° 41' 48" - 360° (No puede ser mayor que 360°)

Azimut (8) = 60° 41'48"

Azimut (12) = Azimut anterior +/- 180° + ángulo derecho.

Azimut (12)= 280° 47' 48" - 180° + 332° 36'

Azimut (12) = 433° 23' 48" - 360° (No puede ser mayor que 360°)

Azimut (12) = 73° 23'48"

Se continúa de la misma forma hasta obtener el azimut de todos los detalles de la poligonal. En la siguiente Tabla se presentan estos datos.

 

Se resaltan los datos de la poligonal base.

Las Proyecciones se calculan de igual forma que para la poligonal base, solo que no se corrigen dado que esto ya se hizo para la poligonal base, lo que se muestra a continuación.

 

Las coordenadas de los detalles, se calculan como coordenadas de radiación, es decir no dependen una de la otra sino que se va sumando el valor de la proyección de cada una, al valor de la coordenada de la estación de la poligonal base. Por ejemplo para el punto E y 15 de la estación 4, tenemos.

Las coordenadas E-W de los vértices serán:

 

CoordE = 8.015 + 214.980 = 222.996

Coord15 = -31.830 + 214.980 =183.150

Las coordenadas, N-S de los vértices serán:

CoordE =38.014 + 119.996 = 158.010

Coord15 =7.999 + 119.996 = 127.995

Es importante aclarar que al dar unas coordenadas iniciales, estas se asumen para la estación 1, entonces las coordenadas (149.969 ; 144.977), aunque están en la fila de la estación 1, corresponden al punto (estación 2) y así sucesivamente. Por esto en el calculo de las coordenadas de los puntos E y 15, se buscan las coordenadas de la estación 4, en la fila de la estación 3. Verificar que en la fila de la estación 5, al observar el punto (estación) 1, llegamos a las mismas coordenadas planteadas inicialmente (100 ; 100).

El área de este terreno es de 9497.99 m2, se invita al estudiante a verificarlo.