TRASLACIÓN SEGUIDA DE ROTACIÓN

TRASLACIÓN SEGUIDA DE  ROTACIÓN

 

Nos toca ahora tratar el caso, en el que se efectúa primero una traslación,  a la cual  le  sigue  una rotación alrededor  de uno de  los  ejes  coordenados del sistema OXYZ, en donde las matrices homogéneas resultante son las siguientes:

Una vez trasladado el vector Px,y,z se continúa con la rotación de un ángulo alrededor del eje OX.

COMPOSICN DE  MATRICES HOMOGÉNEAS

Es habitual contemplar movimientos de traslación y giros realizados sobre un sistema de referencia, lo cual como ya hemos tratado es posible representarlos por una matriz de transformación homogénea.  

Existen movimientos generalizados que requieren de diferentes giros y traslaciones que deben obrar de manera consecutiva sobre un sistema de referencia establecido. Sintetizando, podemos codificar los giros básicos y las traslaciones, como una transformación compleja, siempre y cuando esta pueda descomponerse en la aplicación consecutiva de los mencionados eventos (transformaciones simples).

INTERPRETACIÓN: EJEMPLO

 i)  Giro de un ángulo sobre el eje OZ

ii)  Giro de un ángulo sobre el eje OY

iii) Giro de un ángulo sobre el eje OX

 

La  matriz  que  representa el  giro  resultante,  la  obtenemos mediante  la composición de las matrices básicas de rotación, y resulta ser:

 

NOTA: es preciso comentar, que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que tampoco lo es la operación de composición de transformaciones.

Para el caso en el que la situación obedezca a la inversión en el orden de aplicación de las transformaciones, el resultado obtenido es necesariamente distinto:

Las anteriores ilustraciones, nos impulsa a informar que los ejes sobre los que recaían las operaciones correspondían al sistema de  referencia fijo  OXYZ. Esto no impide la posibilidad de organizar un conjunto de matrices de transformación, que activen operaciones dirigidas de manera permanente al sistema que esté moviéndose. Esto se logra enlazando matrices de manera inverso. 

Cuando se presenta una tarea robótica que impone la aplicación del recurso de la composición de varias transformaciones, en las que hay que apelar al uso de matrices homogéneas, se cuenta algunas normas, ó los criterios siguientes:

Si el sistema fijo (OXYZ)  y el transformado  (0'UVW) concuerdan,  la matriz homogénea  de transformación resulta ser  la  matriz identidad (matriz de orden 4)   I4

Cuando el sistema transformado resulta de traslaciones y rotaciones definidas con respecto al sistema  fijo, la matriz homogénea representativa de cada transformación, deberá premultiplicarse sobre las matrices de las respectivas transformaciones previas.

Cuando el sistema transformado resulta de traslaciones y rotaciones definidas con respecto al sistema  móvil, la matriz homogénea representativa de cada transformación, deberá postmultiplicarse sobre las matrices de las respectivas transformaciones previas.

Las orientaciones mencionadas nos permiten argumentar, que para cualquier operación que incluya composición de matrices homogéneas, podemos tratarla como  si  se  efectuara  cada  transformación con  respecto al  sistema  de referencia fijo, o con respecto al sistema de referencia móvil. 

Finalmente, se presenta una ilustración gráfica de un ejemplo de transformaciones diversas para localizar un objeto.