UNIDAD UNO: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

 

INTRODUCCIÓN

 

Para indicar el grado de incertidumbre de un evento, ésta debe expresarse en términos numéricos; para ello se requiere conocer las reglas y operaciones de la probabilidad. Es así como, en esta primera unidad didáctica, se tratarán los principios básicos de Probabilidad.

Esta unidad se divide en tres (3) capítulos. Los dos primeros capítulos se centran en nociones básicas para el desarrollo completo del concepto de probabilidad. El primero de ellos introduce los términos básicos que se encuentran ligados al lenguaje estadístico y los fundamentos necesarios para el estudio de la teoría de la probabilidad. El segundo capítulo desarrolla la teoría del conteo y las técnicas para determinar el número de veces de ocurrencia de un evento. En el capítulo 3 se desarrolla el concepto de probabilidad y se examinan las diferentes interpretaciones que se tienen de ella, también se trata aquí los axiomas que satisfacen las probabilidades de cualquier experimento aleatorio, las reglas de adición y de multiplicación para probabilidades, la probabilidad condicional, la independencia de eventos y el Teorema de Bayes.

 

Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones básicas de conjuntos[1], tales como uniones, intersecciones y complementos, para formar otros eventos de interés, denominados eventos o sucesos compuestos.

 

Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

 


 

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos)

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o S.


De manera análoga, decimos que:

  • El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
  • El suceso se verifica cuando se verifican simultáneamente A y B.
  • El suceso A´, contrario de A, se verifica cuando no se verifica A.
  • Dos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes no se verifican simultáneamente.

EJEMPLO 1.4:

En el experimento S = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:

A = "sacar un número par".

B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".

C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6".

D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".

F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3".

G = "obtener un múltiplo de 3".

 

  • A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
  • C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.

  • B y C son incompatibles, ya que = Ø y complementarios, al cumplirse = E.

  • = "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E.

  • A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".

  • B-D = = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .

 

  • C y F son incompatibles puesto que = Ø.

 

Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:

 


 

 

Para describir las relaciones entre eventos se usan con frecuencia los diagramas. Estos bien pueden ser los denominados diagramas de Venn o los diagramas de árbol. A continuación se describen ambos tratamientos gráficos de los eventos de un espacio muestral determinado.

 

Los diagramas de Venn suelen emplearse para representar un espacio muestral y sus eventos. En la figura siguiente se contempla un espacio muestral S (los puntos dentro del rectángulo) y los eventos A, B y C como subconjuntos de este. Se representan diferentes diagramas de Venn, ilustrando varios eventos combinados.

Figura 1.1

Diagramas de Venn

 

(a) Espacio muestral S con los eventos A y B mutuamente excluyentes, Ø.

(b) Intersección de los eventos A y B del espacio muestral S, .

(c) Complemento del evento A ( ) en el espacio muestral S.

(d) Evento .

(e) Evento

 

EJEMPLO 1.5:

 

Las orquídeas de un vivero, presentan las siguientes características:

 

 

 

Tamaño de pétalo

 

 

Grande

Pequeño

Color

Lila

40

4

Blanca

2

3

 

Sean los eventos:

A: la orquídea es de pétalo grande.

B: la orquídea es de color lila.

Determine el número de muestras en , y . Represente con diagramas de Venn este espacio muestral y los eventos A y B. Indique el número de resultados en cada región del diagrama.

 

Observe que siempre es necesario describir el evento que se va a considerar dentro del espacio muestral.

 

De acuerdo a las características descritas, el evento está formado por 40 orquídeas para las cuales el tamaño de pétalos es grande y son de color lila al mismo tiempo. El evento contiene 7 orquídeas para las que sus pétalos son pequeños, independiente de su color. El evento está conformado por 46 orquídeas en las que sus pétalos son grandes o su color es lila (o ambas características a la vez).

 

El siguiente diagrama de Venn representa dicho espacio muestral y los dos eventos A y B. Los números indican la cantidad de resultados en cada región del diagrama.

 

Figura 1.2

Diagrama de Venn, ejemplo 1.5

 

 

 

Cuando un espacio muestral puede construirse en varios pasos o etapas suele ser más útil hacer uso de los diagramas de árbol. Cada una de las n1 maneras de completar el primer paso puede representarse como una rama del árbol, cada una de las maneras de completar el segundo paso puede representarse con n2 ramas que comienzan donde terminan las ramas originales, y así sucesivamente.

 

Un diagrama de árbol es una especie de mapa de acontecimientos en donde se describen los eventos básicos que ocurren en un experimento aleatorio. Este gráfico está formado por segmentos de rectas y puntos. Los eventos que ocurren se denotan por puntos. Este diagrama puede ser dibujado de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, no hay restricciones para ello (Ver figura 3).

 

Este tipo de diagramas es muy usual no sólo para describir un espacio muestral, sino en situaciones de probabilidad, caso en el cual la probabilidad del evento se indica sobre el segmento de recta, también en combinatoria y en muchas otras ramas de la matemática.

 

Figura 1.3

Diagramas de árbol

(a) Vertical, (b) Horizontal

 

 

EJEMPLO 1.6:

 

Sofía y Camila Intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane dos juegos seguidos o que complete tres, gana el torneo. Use un diagrama de árbol para determinar los posibles resultados del torneo.

 

Figura 1.4

Diagrama de árbol del ejemplo 1.6

 

 

 

 

El recorrido desde el principio del árbol hasta los puntos terminales, indica quién ganó cada juego en el torneo individual de tenis. Observe que hay 10 puntos terminales que corresponden a los 10 resultados posibles del torneo, ellos son:

 

 

 

 


 

[1] En el desarrollo del presente módulo se parte de la premisa de que el estudiante maneja los diferentes conceptos de la Teoría de Conjuntos. Se recomienda al estudiante que consulte el módulo de Lógica Matemática o cualquier otro texto que contenga dichos conceptos.