Ecuación de Continuidad

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La ley de conservación de la materia es base fundamental para el estudio del flujo de fluidos y permite establecer una importante relación en el flujo de una corriente en un tubo.
Consideremos un fluido que ingresa a un tubo cuya sección circular tiene una área Sa, el fluido inicialmente tiene una velocidad Va y densidad ρa y sale por una sección Sb del mismo tubo, con velocidad Vb y densidad ρb. Ver figura 1-19

Figura 1-19 La masa del fluido que entra por unidad de tiempo, será igual a la masa que sale por unidad de tiempo. Llamando w la rata de flujo, en masa por unidad de tiempo, se tiene

Ecuación 1-37 W = ρavasa = ρbvbsb

De la consideración anterior ( masa que entra igual a masa que sale ) se tiene, generalizando

Ecuación 1-38 Ecuación de continuidad W = v ρ s = Constante

Cuando la sección del tubo es bastante grande, la velocidad v no es la misma para todos los puntos de la sección, razón por la cual es necesario tomar la velocidad promedio en la misma.

La velocidad de flujo de masa a través de un área diferencial situada en la sección del tubo es :

w = v ρ s

integrando:

w = v ρ ∫ ds

La velocidad promedio, se define por

Ecuación 1-39 Ξ = W / ρs = q / s
Donde q es la rata o tasa volumétrica de flujo, en m3/s, cm3/s o m3/hr.

Reemplazando se establece:

v = W/ρS = v ∫ s/s

Que es la relación existente entre la velocidad promedio Ξ y la velocidad local v. Estas dos velocidades llegan a ser iguales solamente si la velocidad local v es igual en todos los puntos de la sección del tubo.

La ecuación de continuidad, para el flujo en un tubo de sección finita, se establece:

W = ρa vasa = ρbvbsb=ρvs= constante

Es de uso universal las tuberías de sección circular, cuya área s es D2/4 expresándose la ecuación para esta tubería como :

W=ρava/4 Da2= ρbvb/4Db2

A la vez

ρava=(Db/Da)2ρb Vb
Con unidades en el sistema internacional de
ρ en kg / m3 ó g/cm3
D en m ó cm
v en m/s ó cm/s
W en kg/s ó g/s
Introduciendo el término G, velocidad de masa, en la ecuación 1-39

Ecuación 1-40 v ρ = W/s = G

Esta relación W /s se conoce como Velocidad de masa G y es la relación de rata de flujo dividida por el área de la sección del tubo, sus unidades son kg / m2.s. ó g /cm2.s.

Siendo independiente de la presión y temperatura; es muy importante el uso de la velocidad de masa en el estudio de los fluidos comprensibles, los cuales tienen densidades y ratas volumétricas que varían significativamente con la presión y la temperatura.

Ejemplo 1-11
Un liquido con densidad 0,8 g /cm3 fluyen a través de un sistema de tuberías como se indica en la figura:

 

 

La tubería A tiene diámetro de 4” y calibre 80
La tubería B tiene diámetro de 3” y calibre 80
Las tuberías C tienen diámetro de 1 (1,5)” y calibre 40
A la tubería A entran 200 litros del liquido por minuto;

Determinar: a) La rata de flujo (kg / hr) en cada una de las tuberías

                 b) La velocidad lineal promedio (m/s) en cada tubería, y

                 c) La velocidad de masa (kg/ m2 .hr ) igualmente para cada tubería
Solución
Para aplicar las fórmulas se requiere conocer el área seccional de cada tubería. Se tiene:
Sa = Área de tubería A = 7,419 x 10-3m2
Sb = Área de tubería B = 4,766 x 10-3m2
Sc = Área de tubería C = 1,314 x 103m2

a. La rata del flujo ( kg / hr ) se obtiene a partir de una rata volumétrica de flujo q :
                              q = 200 l/min x 60 min/hr x 10-3m3/l= 12 m3/hr
como ρ = 0,8 g/cm3 ó 800 kg/m3
            w = q ρ = 12 m3/hr x 800 kg/m3 = 9600kg/hr
Esta rata de flujo es exactamente igual para las tuberías A y B; para la tuberías C, la, rata de flujo se reparte y como son de igual diámetro, la rata de flujo será la mitad.

WC = 1/2WA + 1/2WB = 4800 kg/hr

b. La velocidad promedio lineal se determina a partir de la ecuación 1-39 tomando bien sea q ó w en m3/s ó kg/s, empleando q:



Para Vc se toma q como 6 m3 /hr, ya que el flujo se ha dividido en dos tuberías iguales.

Puede apreciarse que, para una misma rata de flujo (casos de tubería A y B), cuando se disminuye el diámetro de la tubería, aumenta la velocidad del fluido .

c. La velocidad de masa se calcula mediante la ecuación 1-40



 Número de Reynolds – NRe ó Re:

Profundizando en sus estudios, Reynolds encontró que la velocidad crítica depende del diámetro del tubo, la velocidad lineal promedio del fluido, su densidad y su viscosidad.

Encontró que estos cuatro factores pueden ser agrupados y que el cambio del tipo de flujo ocurre para una magnitud dada de los factores agrupados. Así:

Ecuación 1-41                           NRe  

Donde D = diámetro inferior del tubo
v = velocidad lineal promedio del fluido
μ = viscosidad del fluido
ρ = densidad del fluido

Para el manejo de esta ecuación debe tenerse en cuenta que el diámetro interior de una tubería es muy diferente al diámetro nominal de la misma.

Dado un diámetro nominal y especificado el calibre de la tubería (grosor de la misma, es una cifra arbitraria), en tablas se encuentra el diámetro interior para tuberías de un material dado.

Por ejemplo para una tubería en acero de 2” de diámetro y calibre 80, el diámetro interior es 1,939”.

La velocidad promedio del líquido es la rata de flujo o volumen de flujo dividido por el área seccional de la tubería; esta área seccional, igualmente se encuentra en tablas para un diámetro nominal dado.

Para el número de Reynolds se puede emplear la velocidad masa del fluido G, en g/cm2.s, ya que
                           G = Eρ ( cm/s x g/cm3), g/cm2.s

Ecuación 1-42                       NRe

La viscosidad del fluido μ, se refiere a la viscosidad absoluta; aunque también puede emplearse para hallar el NRe la viscosidad cinemática, recordando que ν’ = μ/ ρ stokes ó cm2/s

Ecuación 1-43                       NRe

El numero de Reynolds es una cifra adimensional ( no tiene unidades )

Ejemplo 1-12

Agua a 38°C fluye a través de una tubería de 4” de diámetro, calibre 40 a una rata de 23,5 l / min. Determine el NRe.

Solución:
De las tablas para una tubería de 4” cal 40: D1 = 4,026 pulgadas y el área seccional es 0,0884 ft2 es decir. D1= 10,22 cm y el área interior 82 cm2

La velocidad lineal será :

De las tablas para la temperatura de 38 °C
ρ = 0,993 g /cm3
μ = 0, 682 centipoises = 0,682 x 10-2 g/cm .s
Luego


Se ha establecido que para NRe inferior a 2100 se tiene un flujo laminar o viscoso, para tuberías de área seccional circular o recta y cuando el NRe es superior a 4000 siempre se tiene un flujo turbulento.

Para valores entre 2100 y 4000, el flujo puede ser laminar o turbulento dependiendo de las condiciones de entrada del fluido en la tubería y de la distancia a la cual se mide la velocidad.
La franja para NRe entre 2.100 y 4.000 se conoce como región de transición.

Distribución de Velocidades

Al medir las velocidades v de un fluido en una sección circular de una tubería a diferentes distancias desde el centro y a una distancia relativa en la entrada de la tubería, se ha encontrado que, tanto para el flujo laminar como para el turbulento, la velocidad es mayor en el centro que en los puntos cercanos a la pared de la tubería.

Figura 1-20 Distribución de Velocidades
Al tomar las distancias del centro hacia las paredes como fracciones del radio de la tubería y establecer la relación de la velocidad v para un punto dado respecto a la velocidad máxima en el centro, pueden trazarse gráficas como la figura 1-20 para cada uno de los regímenes de flujo.

En el flujo laminar, la curva A es una verdadera parábola en la que se presentan valores de cero en la relación de velocidades v / vmáx. para las paredes y un valor máximo de 1 para el centro de la sección circular. La velocidad promedio en toda la sección circular es la mitad de la velocidad máxima . v = ½ vmáx.

Cuando la velocidad v llega a la critica se tendrá una película llamada “buffer” la que tiene carácter propio y oscilante entre flujo laminar y turbulento. Una vez la velocidad local sobrepasa la crítica, el flujo definitivamente será turbulento.

Longitud de transición:

Se denomina longitud de transición a la longitud de tubería (en segmento recto) necesaria para que se alcance la distribución final de la velocidad o exista una estabilización en la velocidad del fluido.
Para el régimen laminar, se tiene la relación:

Ecuación 1-44                      XT / D = 0,05 Re

Donde XT es la longitud de transición D el diámetro nominal de la tubería. En el flujo turbulento esta longitud es independiente del NRe y generalmente la longitud de transición es 40 a 50 veces el diámetro de la tubería.
 
La aplicación practica de la longitud de transición radica en el hecho de poder determinar las longitudes mínimas a las cuales pueden colocarse aparatos de medida o de control como termómetros, manómetros, trasductores, etc., ya que tan solo a esa distancia el flujo se normaliza y las lecturas serán las correctas.
 
Para el flujo turbulento, las curvas B y C son más abiertos e igualmente la relación v/vmáx tiene a cero hacia las paredes de la tubería. La velocidad promedio v es aproximadamente Igual a 0,8 veces la máxima velocidad v = 0,8 vmax.
 
La relación v/vmáx puede graficarse en función del NRe para fluidos que circulan en tuberías rectas, de partes interiores muy lisas sin cambiar su sección circular ni cambios de temperatura. En la figura 1-21 puede apreciarse la curva correspondiente. Su análisis nos permite visualizar que para NRe= 2100 la relación v/vmáx es igual a 0,5; a medida que NRe aumenta el valor de la relación va aumentando hasta alcanzar valores muy próximos a 0,8 para NRe altos.
 
Interrelacionando y analizando las curvas de la figura 1-20, independientemente del régimen del flujo, siempre en las zonas muy próximas a las paredes de la tubería existe un flujo laminar. Cuando existe un régimen turbulento, en la sección circular existirá un punto para el cual se tiene la velocidad crítica y una película de fluido tendrá el carácter de flujo laminar.

 

Figura 1-21 NRe vs V/Vmax

Ejemplo 1-12:
Para una tubería de 2” y un flujo cuyo NRe es de 1500, determine a qué distancia de la entrada a la tubería puede colocarse un termómetro.

Solución
De la ecuación XT = 0,05 NRe D

XT = 0,05 x 1500 x 2” x 2,54 cm/pulg = 381 cm

Esta distancia parece excesiva, pero debe tenerse en cuenta que se tiene un régimen laminar con NRe bastante bajo.