Lección 31

Lección 31. Intersección Línea - Plano, Método del Filo y Plano Cortante

La intersección de una recta con un plano es un punto común a los elementos geométricos. Esta intersección es fundamental para el buen desarrollo y aplicación de las demás intersecciones, ya que la abstracción mental de la penetración de un elemento, como la recta, con otro, el plano, en un espacio geométrico, permitirá señalar posiciones de formas geométricas, a las cuales no se tiene acceso, ya que éstas están conformadas por líneas imaginarias que limitan un espacio y localizan un plano real en un espacio geométrico, pero que al ser entendidas desde su elemento básico: la recta, se podrá llegar a comprender los demás elementos que se conforman por este primordial.

Existen dos métodos por los cuales se pueden llegar a obtener el punto de penetración real de los dos elementos que intervienen en la relación espacial: el método del Filo ó de Perfil, y el Método del Plano Cortante. Los dos métodos son confiables y deben llegar al mismo resultado, ya que están expresando la consecuencia de una relación espacial real entre dos elementos.

El Método del Filo ó también llamado de Perfil, busca llevar al plano que interviene en la intersección a Filo, por lo tanto, busca hacerlo ver como una línea, y con ello conseguir el punto de contacto entre los dos elementos (la recta con el plano).

El Método del Plano Cortante trabaja con las dos vistas dadas (Horizontal y Vertical), a partir de ellas selecciona elementos que parezcan intervenir en la relación espacial y a uno de ellos, en una de sus proyecciones, le traza un plano cortante imaginario que se extiende infinitamente hacia el otro elemento que se está interviniendo, por lo tanto necesariamente lo va a traspasar y con ello se consigue que se corten en determinados puntos que luego se transformarán en un solo punto de penetración, a través de un proceso que se explicará más adelante.

En esta Lección se enseñará a obtener el punto de penetración de dos elementos que se interceptan en el espacio geométrico, trabajando a partir de ejemplos que se presentarán por medio del proceso a realizar en todos los ejercicios relacionados, por lo tanto se mostrará paso a paso el proceso que el estudiante debe seguir para obtener el punto de penetración.

El primer método que se va a presentar es el de Filo, el cual es el más seguro, ya que al dejar al plano en una vista auxiliar, adicional a las dadas, como filo se hace más fácil señalar el punto de contacto y la visibilidad en las proyecciones.

Figura 1. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2
 
 
 

Se presenta un plano a, b, c con una recta m, n, la cual al parecer lo interceptará, ya que ésta no está mostrándose paralela a ninguna de las rectas que conforman el plano y se encuentra en una posición cualesquiera, al igual que el plano, por lo tanto debe llevarse a filo para comprobar si existe un contacto, una penetración.

Para llevar el plano a Filo se procede de la forma en que siempre se debe hacer: si no existe una línea contenida en el plano que sea paralela a la Línea de Referencia, se trazará una recta auxiliar paralela a la Línea de Referencia, la cual surgirá desde un punto del plano; luego ésta se proyectará a la siguiente Vista, en la cual se mostrará con su Verdadera Longitud; Luego se deberá trazar una proyección Auxiliar de forma perpendicular a la Línea en Verdadera Longitud (c, e) para verla como punto y por lo tanto al plano como filo. Al obtener la vista del filo también se proyectará la recta, con ello se consigue el punto contacto entre el plano y la recta, punto al cual se le denominó "p".

Figura 2. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Filo. Paso 3 y 4
 

 

El punto de penetración debe devolverse a las vistas Horizontal y Frontal para así localizar la intersección en todas sus proyecciones. La forma adecuada para devolver tal punto es a través de las líneas de proyección, las cuales se trazan de una proyección a otra de forma perpendicular a la Línea de Referencia a la que atraviesan, y se situará el punto en donde tenga contacto la línea de proyección con la recta m, n.

La visibilidad de la línea será definida por cercanía ó por el método de las líneas que se cruzan. El método de cercanía se utilizará para obtener la visibilidad correcta en la proyección Horizontal, ya que ésta se basa en la proyección de Filo para obtenerla. En ésta se debe observar que en la proyección Auxiliar J se tiene la recta m, n con el plano como filo, y lo que queda antes del plano es la segmento de la recta "m" hasta el punto de penetración "p", por lo tanto de la recta el segmento "m" hasta el punto de contacto con el plano, punto "p", será visible, luego la recta se volverá invisible, hasta los límites del plano a, b, c, por lo tanto, lo que esté después del punto de penetración será invisible, ya que se encuentra por detrás del plano y el observador no podrá verlo. Esto es en el caso de los elementos en la proyección Horizontal.

Para descubrir la Visibilidad de la proyección Frontal, el observador debe estar localizado en ésta y debe mirar hacia la proyección Horizontal pues es de ésta de la cual se obtendrá la visibilidad de los elementos de la Frontal. En este caso se trabajará a partir de las líneas que se cruzan, entonces, en la proyección Frontal se cruzan la recta m, n con la línea c, a, del plano; el observador debe mirar hacia la proyección Horizontal desde la proyección frontal y verificar en qué posición se encuentran las líneas que se cruzan en la vista Frontal; La línea m, n se encuentra en una posición anterior que la línea c, a, ya que el punto "m" es el más cercano al observador, mientras que la recta c, a, tiene a la recta m, n antes que ella, por lo tanto la recta visible va a ser el segmento de la recta "m" hasta la intersección "p", debido a que el punto "m" es el que se encuentra antes del plano y el punto "n" está después del plano y del punto de penetración, por lo tanto, solo el segmento m, p es el visible.

Ahora, por el Método del Plano Cortante se debe escoger un eje, una línea, el cual será extendido de forma perpendicular a la posición de la recta y se prolongará indefinidamente, de modo que corte el plano a, b, c, en algún punto necesariamente, sin importar su posición en el espacio, pues como el plano cortante no es limitado tendrá que hacer contacto con éste.

Figura 3. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Plano cortante. Paso 1.

El ejercicio presenta el plano a, b, c y la recta m, n, elementos que se interceptan en algún punto, el cual va a ser definido a través de la configuración de un Plano Cortante imaginario, el cual se localizará en la prolongación de la recta m, n y se extenderá de forma perpendicular a ésta, buscando cortar el plano a, b, c y definir dos puntos de contacto del plano con el Plano Cortante - 1.

El Plano Cortante 1 se puede señalar en cualquiera de las proyecciones, en este caso se realiza en la proyección Horizontal y éste debe indicarse con un tono de línea inferior al de los elementos y con el tipo de línea K. Los puntos en los que corta el Plano Cortante al plano a, b, c, se definirán con un número ó letra, en este caso se utilizaron los número 1 y 2. Los puntos de contacto se trasladarán a la siguiente proyección, en este caso a la Frontal, y se establecerán sobre la arista del plano a, b, c, que esté cortando el Plano Cortante, por lo tanto el punto 1 corta la arista c, b y el punto 2 corta a la arista a, b, por ello al trasladar los puntos de contacto a la siguiente proyección se establecerán sobre las aristas del Plano a, b, c; se debe unir el punto 1 con el 2 en esta proyección con línea tipo F.

Figura 4. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y 3.
 

 

La intersección de la recta formada por el punto 1 y el 2 en la proyección Frontal con la línea m, n, es el punto real de intersección: punto "p"; éste punto debe devolverse a la proyección anterior, proyección Horizontal, y donde corte la línea de proyección con la recta m, n, se indicará el punto "p".

Para la definición de la visibilidad se deberá realizar necesariamente por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal la recta m, p se cruza con la línea c, b, el observador ubicado en esta proyección deberá mirar hacia la proyección Frontal para la verificación de la posición de las rectas; se puede ver que el segmento m, p, se encuentra antes que la recta c, b, por lo tanto la recta m, p, será la visible en la Vista Horizontal y la recta p, n, será oculta hasta el límite del plano a, b, c.

En la proyección Frontal se tomarán dos líneas que se cruzan: m, p con c, a. El observador dirigirá su mirada hacia la proyección Horizontal y verificará cuál de las dos se encuentra en una posición anterior, por lo tanto más cerca del observador. La recta m, p se localiza más cerca al observador que la recta a, c, por lo tanto la recta m, p en la proyección Frontal será el segmento de la recta visible y el segmento p, n será oculto hasta los límites del plano a, b, c.